[2015년 가좌고]

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[2학년 1학기 중간 기하와 벡터]

그림과 같이 좌표평면 위에서 점 [eqn: rmF (3,```1)]과 [eqn: y]축으로부터 같은 거리에 있는 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 자취의 방정식은 [eqn: y^2 +ax +by +c=0]이다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값은? [3.7점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

그림에서 다리의 아치는 포물선의 일부분이다. 포물선을 연결하여 해수면과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 포물선의 꼭짓점 [eqn: rmO]에서 해수면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하자. 포물선의 초점 [eqn: rmF]가 선분 [eqn: rmOH] 위에 있고, [eqn: bar{rmAB}=20], [eqn: bar{rmOH}=10]일 때, [eqn: bar{rmOF}]의 길이는? [4.1점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 4]

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rmF}(4,```0)], [eqn: {rmF}'(-4,```0)]을 잡는다. 길이가 [eqn: 10]인 실의 양 끝을 두 점 [eqn: rmF`], [eqn: rmF']에 각각 고정시킨 다음, 연필 끝으로 실을 팽팽하게 당기면서 연필의 끝 점 [eqn: rmP]를 움직일 때, 연필의 끝점 [eqn: rmP]가 그리는 도형의 방정식은 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1]이다. 이때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0]) [3.8점]

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

타원 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1]을 평행이동 하였더니 그림과 같이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 각각 점 [eqn: (2,```0)], [eqn: (0,```1)]에서 접하였다. 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0]) [3.8점]

④

① [eqn: sqrt { 3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2sqrt { 2}]

④ [eqn: 2sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 4]

타원 [eqn: 4x^2 +9y^2 =36]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 이 타원 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: bar{rmOP}=bar {rmOF}]를 만족시킬 때, [eqn: bar {rmPF}times bar{rmPF'}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점) [4.5점]

①

① [eqn: 8]	② [eqn: 17over2]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 19over2]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같이 길이가 [eqn: 20]인 자의 한쪽 끝을 [eqn: rmF' (-5,```0)]에 고정시켜서 자가 회전할 수 있도록 하였다. 자의 반대쪽 끝 [eqn: rmA]에는 길이가 [eqn: 12]인 실의 한쪽 끝을 고정하고 실의 나머지 한쪽 [eqn: rmF(5,```0)]에 고정하였다. 실이 자에서 떨어지지 않게 연필의 끝을 자에 붙이고 실이 팽팽하게 유지되도록 하면서 점 [eqn: rmF']을 중심으로 자를 회전시키면서 곡선을 그린다. 이때, 곡선 위의 임의의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: bar{rmPF'}-bar{rmPF}]의 값은? [3.6점]

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

타원 [eqn: x^2 over a + y^2 over7 =1]의 두 초점과 쌍곡선 [eqn: x^2 over9 - y^2 over7 =1]의 두 꼭짓점이 일치할 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 16]

좌표평면에서 쌍곡선 [eqn: x^2 over 9 - y^2 over 16 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라고 하자. 이 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: triangle {rmPFF']의 둘레의 길이가 [eqn: 26]일 때, [eqn: bar{rmPF} times bar{rmPF'}]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 45]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 55]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 60]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형의 꼭짓점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: |vec { rmAD} | times |vec{rmFD} |`]의 값은? [3.6점]

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 2sqrt { 3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 3sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 5}]

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 평행하지 않고 [eqn: vecx +vecy =veca], [eqn: vecx - vecy =vecb]일 때, [eqn: 2vecx +4vecy = m veca +n vecb]를 만족시키는 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]의 합 [eqn: m+n]의 값은? [3.9점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 평행하지 않고
[eqn: vec{rmOA}=2veca -vecb], [eqn: vec{rmOB} = veca +vecb], [eqn: vec{rmOC} =-veca +k vecb]일 때, 서로 다른 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 한 직선 위에 있도록 하는 [eqn: k]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같이 [eqn: triangle {rmAOB} = 90 DEG]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]에서 [eqn: vec {rmOA} = veca],
[eqn: vec {rmOB} = vecb]라고 하자. [eqn: angle {rmAOB]를 이등분하는 벡터 [eqn: vec {rmOC}]를 [eqn: veca], [eqn: vecb]를 이용하여 나타내면? [3.7점]

④

① [eqn: 1over3 (veca +vec{b})]	② [eqn: veca +vecb]	③ [eqn: sqrt { 3 }over3 (veca +vec{b})]

④ [eqn: sqrt { 2}over2 (veca +vec{b})]	⑤ [eqn: sqrt { 3}over2 (veca +vec{b})]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: vec{rmPA} +vec{rmPB}+vec{rmPC}=vec{rmAB}]를 만족시킬 때, [eqn: triangle rmABP]와 [eqn: triangle rmCBP]의 넓이의 비는? [4.5점]

②

① [eqn: 1:1]	② [eqn: 1:2]	③ [eqn: 1:3]

④ [eqn: 2:1]	⑤ [eqn: 2:3]

삼각형 [eqn: rmABC] 내부에 한 점 [eqn: rmP]가 있다. [eqn: 3 vec{rmPA} +2 vec{rmPB} +4vec{rmPC} =0]을 만족하고, 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmPCA]의 넓이를 각각 [eqn: rmS_1], [eqn: rmS_2]라고 할 때, [eqn: {rmS}_1 over {rmS}_2]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5over2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7over2]

세 벡터 [eqn: veca =(1,```2)], [eqn: vecb =(4,```2)], [eqn: vecc =(0,```2)]에 대하여 [eqn: 2 veca + vec b +vec c]와 같은 방향의 단위벡터를 [eqn: vece = (e_1, ```e_2 )]라 할 때, [eqn: 10 times (e_1 + e_2 )]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

곡선 [eqn: y = 2overx`(x>0)] 위의 두 동점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{rmOP}], [eqn: vec{rmOQ}]의 내적 [eqn: vec{rmOP} cdot vec{rmOQ}]최솟값은? (단, [eqn: rmO]는 원점) [4.6점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: |veca |=2], [eqn: |vecb | =2]이고 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]일 때, 두 벡터 [eqn: veca]와 [eqn: veca +vecb]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos^2`theta = n overm]일 때, [eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수) [4.7점]

①

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

서술형

그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =4x]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선 [eqn: l]이 포물선과 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다. [eqn: bar{rmAF} : bar{rmBF} = 3:1]일 때, 직선 [eqn: l]의 기울기를 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: sqrt {3}]

쌍곡선 [eqn: x^2 over 16 - y^2 over9 =1]의 점근선과 직선 [eqn: x=-4]가 제[eqn: 2]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP~]라 하자. 중심이 원점이고 점 [eqn: rmP]를 지나는 원이 쌍곡선과 제[eqn: 2]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmQ], [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABQ]의 넓이를 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 9]

원 [eqn: (x-4)^2 +y^2 =8] 위를 움직이는 점 [eqn: rmA]에 대하여
[eqn: vec{rmOB} = 1 over {|vec{rmOA} |} vec{rmOA}]
를 만족하는 점 [eqn: rmB]가 나타내는 도형의 길이를 구하고, 풀이과정을 서술하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [7.0점]

[eqn: piover2]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하고, 변 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:3]로 내분하는 점을 [eqn: rmE]라 할 때, [eqn: |vec{rmBE} + vec{rmDC} |^2]의 값을 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 31over16]

[2015년 가좌고]

[2학년 1학기 중간 기하와 벡터]

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